Το θεώρημα του Bayes ή η πιθανότητα αιτιών

Το θεώρημα του Bayes είναι ένας από τους πυλώνες του λογισμού πιθανοτήτων . Είναι μια θεωρία που διατύπωσε ο Thomas Bayes (1702-1761) τον 18ο αιώνα. Ποιος είναι όμως ο σκοπός της έρευνας αυτού του διάσημου επιστήμονα; Η πιθανότητα εκφράζει σε μια τυχαία διαδικασία την αναλογία μεταξύ του αριθμού των ευνοϊκών περιπτώσεων και του αριθμού των πιθανών περιπτώσεων.

Πολλές θεωρίες πιθανοτήτων έχουν αναπτυχθεί που διέπουν την ύπαρξή μας σήμερα. Όταν πηγαίνουμε στον γιατρό, συνταγογραφεί το φάρμακο που είναι πιο πιθανό να αποδειχθεί χρήσιμο στην περίπτωσή μας, όπως οι διαφημιστές αφιερώνουν τις καμπάνιες τους στα άτομα που είναι πιο πιθανό να αγοράσουν το προϊόν που θέλουν να προωθήσουν ή στους τουρίστες και τους ταξιδιώτες που επιλέγουν τη διαδρομή όπου είναι πιθανό να υπάρχει η μικρότερη ουρά.

Ο νόμος της συνολικής πιθανότητας είναι από τους πιο διάσημους, επομένως πριν μιλήσουμε για το Θεώρημα Bayes θα πρέπει να αφιερώσουμε μερικές γραμμές για να εξηγήσουμε το πρώτο. Για να προσπαθήσετε να το καταλάβετε, απλώς δώστε ένα παράδειγμα .

Ποια είναι η πιθανότητα (P) να επιλέγεται τυχαία ένα άτομο από τον εργαζόμενο πληθυσμό σε αυτή τη χώρα άνεργος ?

Σύμφωνα με τη θεωρία πιθανοτήτων τα δεδομένα θα εκφραστούν ως εξής:

• Η πιθανότητα το άτομο να είναι γυναίκα: P (M)
• Η πιθανότητα το άτομο να είναι άνδρας: P (H)

Γνωρίζοντας ότι το 39% του πληθυσμού αποτελείται από γυναίκες, συμπεραίνουμε ότι: P (M) = 039.

Είναι λοιπόν σαφές ότι: P (H) = 1 – 039 = 061. Το πρόβλημα που τέθηκε στην αρχή μας δίνει και τις υπό όρους πιθανότητες:

• Πιθανότητα ότι ένα άτομο είναι άνεργο γνωρίζοντας ότι είναι γυναίκα -> P (P | M) = 022
• Πιθανότητα ότι ένα άτομο είναι άνεργο γνωρίζοντας ότι είναι άνδρας – P (P | H) = 014

Χρησιμοποιώντας το νόμος της συνολικής πιθανότητας θα έχουμε:

P (P) = P (M) P (P | M) P (H) P (P | H)

P (P) = 022 × 039 014 × 061

P (P) = 017

Ο . Παρατηρούμε ότι το αποτέλεσμα βρίσκεται στα μισά του δρόμου μεταξύ των δύο πιθανοτήτων υπό όρους (022<017 <014). Inoltre è più prossimo al valore degli uomini perché nella popolazione di questo paese immaginario sono la maggioranza.

Ας ανακαλύψουμε το θεώρημα του Bayes

Τώρα ας υποθέσουμε ότι ένας ενήλικας επιλέγεται τυχαία για να συμπληρώσει μια φόρμα και παρατηρείται ότι δεν έχει δουλειά. Σε αυτή την περίπτωση και λαμβάνοντας υπόψη το προηγούμενο παράδειγμα, ποια είναι η πιθανότητα αυτό το τυχαία επιλεγμένο άτομο να είναι γυναίκα -P (M | P) -;

Για να λύσουμε αυτό το πρόβλημα θα εφαρμόσουμε το θεώρημα του Bayes που χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό της πιθανότητας ενός γεγονότος έχοντας εκ των προτέρων πληροφορίες για αυτό . Μπορούμε να υπολογίσουμε τις πιθανότητες ενός γεγονότος Α γνωρίζοντας ότι ικανοποιεί ορισμένα χαρακτηριστικά (Β).

Σε αυτή την περίπτωση μιλάμε για την πιθανότητα το άτομο που επιλέγεται τυχαία να συμπληρώσει μια φόρμα να είναι γυναίκα. Αλλά αυτό

Ο τύπος του θεωρήματος του Bayes

Όπως κάθε άλλο θεώρημα χρειαζόμαστε έναν τύπο.

Φαίνεται περίπλοκο αλλά όλα έχουν μια εξήγηση. Ας σκεφτούμε τμηματικά. Τι σημαίνει κάθε γράμμα;

Β είναι το συμβάνγια το οποίο έχουμε προκαταρκτικές πληροφορίες.
• L το γράμμα Α (ν) αναφέρεται στα διαφορετικά εξαρτημένα γεγονότα.
• Στο μέρος του αριθμητή έχουμε το υπό όρους πιθανότητα . Αυτό αναφέρεται στην πιθανότητα ότι κάτι (ένα συμβάν Α) θα συμβεί, γνωρίζοντας ότι θα συμβεί και ένα άλλο γεγονός (Β). Ορίζεται ως P (A | B) και εκφράζεται ως: Η πιθανότητα του A δεδομένου B .
• Στον παρονομαστή έχουμε το ισοδύναμο του P (B) και ακολουθεί η ίδια εξήγηση με το προηγούμενο σημείο.

Ένα παράδειγμα

Επιστρέφοντας στο προηγούμενο παράδειγμα ας υποθέσουμε ότι ένας ενήλικας επιλέγεται τυχαία για να συμπληρώσει ένα ερωτηματολόγιο και παρατηρείται ότι είναι άνεργος . Ποιες είναι οι πιθανότητες αυτό το επιλεγμένο άτομο να είναι γυναίκα;

Γνωρίζουμε ότι το 39% του ενεργού πληθυσμού αποτελείται από γυναίκες ενώ το υπόλοιπο αποτελείται από γυναίκες άνδρες . Γνωρίζουμε επίσης ότι το ποσοστό των ανέργων γυναικών είναι 22% και των ανδρών είναι 14%.

Τέλος, γνωρίζουμε επίσης ότι η πιθανότητα ένα άτομο που επιλέγεται τυχαία να είναι άνεργο είναι 017. Εάν εφαρμόσουμε τον τύπο του θεωρήματος του Bayes, το αποτέλεσμα που θα έχουμε είναι ότι υπάρχει πιθανότητα 05 ότι ένα άτομο επιλέγεται τυχαία μεταξύ των ανέργων

P (M | P) = (P (M) * P (P | M) / P (P)) = (022 * 039) / 017 = 05

Το θεώρημα του Bayes προκύπτει από το συνδυασμό των σύνθετων και απόλυτων θεωρημάτων πιθανοτήτων που εξηγήσαμε στην αρχή. Το κύριο χαρακτηριστικό του είναι ότι λειτουργεί σε όλες τις ερμηνείες των πιθανοτήτων.

Δεδομένου ότι μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό της πιθανότητας μιας αιτίας που πυροδότησε το συμβάν Η σημασία του έγκειται στον τρόπο με τον οποίο επηρέασε ιστορικά τη μελέτη της στατιστικής . Σήμερα, μάλιστα, είναι γνωστές δύο κύριες σχολές (η μια συχνή και η άλλη Μπεϋζιανή) που αντιπαραβάλλουν η μία την άλλη ξεκινώντας από την ερμηνεία που δίνεται σε αυτή τη θεωρία.

Κλείνουμε με μια περιέργεια: ξέρατε ότι το ηλεκτρονικό spam (αυτό του Internet διαφημίσεις μέσω email) λειτουργεί χάρη στο θεώρημα του Bayes;